注意到近期几篇很有意思的文章，它们有个共同特点是都可以从自由费米子出发得到基本的结论，但是应用范围又更广一些，非常适合初入该领域的学生加深理解：
- 关于 Fermi Sea Topology
- Quantized Nonlinear Conductance in Ballistic Metals arXiv 2108.05870
- Topological Multipartite Entanglement in a Fermi Liquid arXiv 2204.06559
第一篇文章是Charles L. Kane的“居家防疫之作”（某次报告中提及，不知是否是玩笑话）。简单的说，他推广了一维的Landauer formula到一般维度，角度很独特。文章读起来有种“清爽”的感觉，一如他过去拓扑绝缘体的那些经典之作。技术上运用了Morse theory这个物理学家屡试不爽的技巧（在凝聚态中的经典成功案例是van Hove singularity），将一个很自然的输运系数和Fermi sea的欧拉示性数联系起来。他提出的公式是如此自然，让人很难相信这样简单的公式在之前没有被发现。我想，这大概是Kane的独特眼光和魅力吧。
第二篇粗读我觉得写的很好，里面有很多有意思的计算和漂亮的结论。它将Fermi sea的拓扑用量子纠缠来表达，比上一篇更有意思。更进一步的是，他们发现虽然相互作用会破坏一些输运系数（例如上一篇中利用的非线性电导）的量子/离散化，但是对利用量子纠缠来表达的公式，至少可以微绕地证明没有影响，这件事很神秘，也很深刻。
- 关于 Modular (Entanglement) Hamiltonian
- Chiral central charge from a single bulk wave function arXiv 2110.06932
- Modular commutator in gapped quantum many-body systems arXiv 2110.10400
这两篇讲的是一回事（后者是前者的重复和细节版），关于如何从modular Hamiltonian得到热霍尔效应系数（反映到边界上并假设共形对称性，则是边界态的chiral central charge $c_-$）的一个猜想
\[i\langle \psi | [K_{AB},K_{BC}] |\psi \rangle = \frac{\pi}{3} c_-\]其中 $|\psi\rangle$ 是某个二维有能隙哈密顿量的基态，$K_X$ 是某个子区域 $X$ 的modular Hamiltonian，ABC是三个逆时针展开交于一点的三个足够大的子区域（详情请参考上述链接）。
这个公式很有趣，但作者并没有给出足够令人信服的证据证明其普适性。很有可能未来会有更准确的版本出现，在某个特殊条件下回到上述公式。尤其对于无限维希尔伯特空间的情形，例如量子场论，上述公式中的modular Hamiltonian并不是良好定义的。但不管怎么样，这个公式的含义值得思考。一组值得一提的后续工作是从边界CFT的角度理解上述公式
- From entanglement generated dynamics to the gravitational anomaly and chiral central charge arXiv 2206.02823
- Extracting the Quantum Hall Conductance from a Single Bulk Wavefunction arXiv 2208.11710
